Question

（1）如图1，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C．用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心O的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并依图直接写出该圆弧的半径为______．
（2）如图2，点B为AC中点，弦AC=8，BD⊥AC于D，BD=2，过A作该圆弧的切线，交DB的延长线于P，求PA的长．

Answer 1

解：（1）如图1，分别作AB于BC的垂直平分线，交点即为O；
连接OA，
OA==2．
故答案为：2；

（2）如图2，设圆心为O，连接OA，OD，
∵BD⊥AC，点B为AC中点，
∴点B，D，O在同一条直线上，
∴AD=AC=4，
设OA=x，则OD=OB-BD=x-2，
∵OA²=OD²+AD²，
∴x²=16+（x-2）²，
解得：x=5，
∴OA=OB=5，OD=3，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠P+∠O=90°，
∵∠O+∠OAD=90°，
∴∠P=∠OAD，
∵∠ADO=∠PDA=90°，
∴△PAD∽△AOD，
∴，
∴，
∴PA=．
分析：（1）由垂径定理的知识，即可求得分别作AB于BC的垂直平分线，交点即为O；然后由勾股定理求得该圆弧的半径；
（2）首先设圆心为O，连接OA，OD，由勾股定理，即可求得OA与OD的值，易得△PAD∽△AOD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PA的长．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．