题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
1
2
x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
（3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．
分析：（1）将点B（-1，0）分别代入y=
1
2
x+b与y=-
5
6
x2+
13
6
x+c，即可求得b、c的值；
（2）①由于直线y=
1
2
x+b与抛物线交于A、B两点，所以联立直线y=
1
2
x+b与抛物线的解析式，即可求出点A的坐标；
②过点A作AH⊥y轴于H，先运用勾股定理的逆定理证明出△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，再利用圆周角定理得出∠ACD=∠BCD=45°，∠BDC=∠BAC，得到△DBC∽△AEC，则∠DBC=∠AEC，然后在Rt△DBO中利用正切函数的定义即可求出tan∠AEC=tan∠DBC=3；
（3）分三种情况讨论：①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．即可得到有四个不同的旋转中心．
解答：解：（1）∵一次函数y=
1
2
x+b的图象经过点B（-1，0），
∴0=
1
2
×（-1）+b，
解得b=
1
2
；
∵抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+c经过点B（-1，0），
∴0=-
5
6
×（-1）2+
13
6
×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①
1
2
x+
1
2
=-
5
6
x2+
13
6
x+3，
化简得x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3．
当x=3时，y=2，
∴A（3，2）；
②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB2=（-1-3）2+（0-2）2=20，AD2=（0-3）2+（3-2）2=10，DB2=（-1-0）2+（0-3）2=10，
∴AB2=AD2+DB2，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=
OD
OB
=
3
1
=3；

（3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
1、旋转后OD在抛物线上：
设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+3=-
5
6
（x-
13
10
）2+
529
120
，对称轴x=
13
10
，
则x1=
13
10
-
1
2
|OD|=
13
10
-
3
2
=-
1
5
，x2=
13
10
+
3
2
=
14
5
，
则两点为（-
1
5
，
38
15
）、（
14
5
，
38
15
）．
这时分别：①O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
）；②O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），此时O′D′=3．
设旋转中心P点的坐标为（x，y）．
①如果O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
），由题意，得
x+y=
38
15
y-x=
1
5
，解得
x=
7
6
y=
41
30
，
此时旋转中心P1为（
7
6
，
41
30
）；
②如果O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），由题意，得
y-x=
38
15
x+
1
5
=3-
38
15
-x
，解得
x=
2
15
y=
8
3
，
此时旋转中心P2为（
2
15
，
8
3
）；
2、旋转后OB在抛物线上：
由于OB⊥y轴，则O′B′⊥x轴，此时显然不成立；
3、旋转后BD在抛物线上：
BD边旋转90°后所得线段B′D′与BD垂直，直线斜率kBD=3，则kB′D′=-
1
3
．
设旋转后B′D′所在直线方程为：y=-
1
3
x+m，
与抛物线：y=-
5
6
x2+
13
6
x+3联立，解方程组，得：
x=
15+
585-120m
10
y=
-15-
585-120m
+30m
30
或
x=
15-
585-120m
10
y=
-15+
585-120m
+30m
30
，此为两个交点的坐标．
∵B′D′=BD=
10
，
∴（
15-
585-120m
10
-
15+
585-120m
10
）2+（
-15+
585-120m
+30m
30
-
-15-
585-120m
+30m
30
）2=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴两点坐标：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），则D′与D重合，所以此时旋转中心为P3（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），则此时旋转中心为P4（1，1）．
综上可知，旋转中心为（0，3）、（1，1）、（
7
6
，
41
30
）、（
2
15
，
8
3
）．
点评：本题考查了一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，两函数的交点坐标的求法，勾股定理的逆定理，锐角三角函数，旋转的性质，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作
（2，2）
．
在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
2
cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
（1）点A的坐标为
（-3，2
2
）
（-3，2
2
）
，点B的坐为
(-3-2
2
，0)
(-3-2
2
，0)
；
（2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
（3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

(1)按照这种规定填写下表：

(2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

阅读下面的材料：

小明在研究中心对称问题时发现：

如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

（1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

 

在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），
（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网