Question

【题目】如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．

（1）若△ACD的面积为16．

①求抛物线解析式；

②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；

（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①，②t＝0时，最大值为2；（2）

【解析】

（1）①由题意，令y=0，解得C（-2，0），D（6，0）得CD=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，A（0，-12a），即OA=12a，由S△ACD==48a=16，解得：a＝，所求抛物线的解析式为y＝(x+2)(x6)= x2x4；
②由于∠SP1P-∠SC1C=∠SCC1，且∠MSC=∠NSP1∴△MSC∽△NSP1得，设S（t，0）（0≤t≤6），则SP=(t+2)(t6)，SC=t+2，可得t=0时，最大值为2；
（2）分两种情况讨论，①由直线y=x-12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA=OB=12a，∠OAB=∠OBA=45°，当点N在y轴的左侧时，此时∠MAO=30°得直线AM的解析式为：得点M的横坐标为得

②当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F，易证：△EBA≌△FBA，得∠BAF=75°，BF=BE=，∠FBO=90°，得直线AF的解析式为：，点G横坐标为，点A关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为：（4，-12a），则，得，因此满足∠MAB=75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．

解：（1）①由题意，令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6

∴C（﹣2，0），D（6，0）

∴CD＝8．

令x＝0，解得y＝﹣12a，且a＞0

∴A（0，﹣12a），即OA＝12a

∴S△ACD＝＝48a＝16，

解得：

所求抛物线的解析式为＝

②由题意知，∠SP1P﹣∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1

∴△MSC∽△NSP1

∴

设S（t，0）（0≤t≤6），则SP＝，SC＝t+2

∴

∵0≤t≤6

∴t＝0时，最大值为2；

（2）由题意，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°

如图2

当点M在y轴的左侧时，此时∠MAO＝30°

设直线AM与x轴交于点E，则OE＝

∴

又∵A（0，﹣12a），

∴直线AM的解析式为：

由得：

解得：

∴点M的横坐标为

∵

②当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F，

易证：△EBA≌△FBA，

得∠BAF＝75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°

∴

∴直线AF的解析式为：

由，解得：

∴点G横坐标为，

点A关于抛物线对称轴x＝2的对称点的坐标为：（4，﹣12a），

则，得，

故要使满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．