Question

某校服生产厂家计划在年底推出80套两款新校服A和B，预计前期投入资金不少于20900元，但不超过20960元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如下表：

	A	B
成本价（元/套）	250	280
售价（元/套）	300	340

（1）该厂家有哪几种生产新校服的方案可供选择？
（2）该厂家采用哪种生产方案可以获得最大的利润？最大利润为多少？
（3）经市场调查，年底前每套B款校服售价不会改变，而每套A款校服的售价将会提高m元（m＞0），且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？

Answer 1

解：（1）设生产A校服x套，则生产B校服（80-x）套，根据题意得：
，
解得：48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x只能取48、49、50，
∴厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一、购买A校服48套，购买B校服32套；
方案二、购买A校服49套，购买B校服31套；
方案三、购买A校服50套，购买B校服30套；

（2）设总利润为y，则y=50x+60（80-x）=4800-10x，
∵-10＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y最大，
∴当x取48时，y取得最大值为4800-10×48=4320（元），
答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4320元；

（3）∵总利润y=（50+m）x+60（80-x）=（m-10）x+4800，
∴分为三种情况：①当0＜m＜10时，安排生产A校服48套，可获得最大利润，
②当m=10时，怎么安排生产利润总是定值4800元，
③当m＞10时，安排生产A校服50套，可获得最大利润．
分析：（1）设生产A校服x套，则生产B校服（80-x）套，根据题意得出不等式组，求出不等式组的整数解，即可得出答案；
（2）根据-10＜0得出y随x的增大而减小，推出当x取最小值时，y最大，把x=48代入求出y即可；
（3）设总利润为y′，根据题意得出总利润y=（50+m）x+60（80-x）=（m-10）x+4800，分为三种情况：当0＜m＜10时，安排生产A校服48套，可获得最大利润，当m=10时，怎么安排生产利润总是定值4800元，当m＞10时，安排生产A校服50套，可获得最大利润．
点评：本题考查了一次函数的应用，关键是能根据题意得出函数式，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用的数学思想是转化思想．