题目内容

1.对于正数x,规定f(x)=$\frac{x}{1+x}$,例如f(2)=$\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$,f(3)=$\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}$,f($\frac{1}{2}$)=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$,f($\frac{1}{3}$)=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$,计算:f($\frac{1}{2016}$)+f($\frac{1}{2015}$)+f($\frac{1}{2014}$)+…+f($\frac{1}{3}$)+f($\frac{1}{2}$)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)的结果是$\frac{4031}{2}$.

分析 根据f(x)=$\frac{x}{1+x}$,可得相应的函数值,根据加法交换律,结合律,可得答案.

解答 解:原式=$\frac{1}{2017}$+$\frac{1}{2016}$+$\frac{1}{2015}$+…+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{2014}{2015}$+$\frac{2015}{2016}$+$\frac{2016}{2017}$
=($\frac{1}{2017}$+$\frac{2016}{2017}$)+($\frac{1}{2016}$+$\frac{2015}{2016}$)+($\frac{1}{2015}$+$\frac{2014}{2015}$)+…+($\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$)+($\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$)+$\frac{1}{2}$
=2015+$\frac{1}{2}$
=$\frac{4031}{2}$,
故答案为:$\frac{4031}{2}$.

点评 本题考查了分式的加减,利用f(x)=$\frac{x}{1+x}$得出相应的函数值,利用运算律是解题关键.

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