Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC和BC边的中点A₁，B₁，则四边形ABA₁B₁的面积为

3

4

，A₂，B₂再分别取A₁C，B₁C的中点，A₂C，B₂C的A₃，B₃中点，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

1-

1

4 n

．

Answer 1

分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．

解答：解：∵A₁、B₁分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A₁B₁C的面积为1×

1

4

=

1

4

，
∴四边形A₁ABB₁的面积=△ABC的面积-△A₁B₁C的面积=

3

4

=1-

1

4

，
∴四边形A₂A₁B₁B₂的面积=△A₁B₁C的面积-△A₂B₂C的面积=

1

4

-

1

4 2

=

3

16

=

3

4 2

，
…，
∴第n个四边形的面积=

1

4 n-1

-

1

4 n

=

3

4 n

，
∴

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

4 2

）+…+（

1

4 n-1

-

1

4 n

）
=1-

1

4 n

．
故故答案为：1-

1

4 n

．

点评：本题考查了三角形的中位线性质定理和相似三角形的性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．