Question

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=x，S_△PCE=y，
（1）求证：DF=EF；
（2）当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．

Answer 1

分析：（1）延长FP交AB于G，根据正方形的性质和已知推出矩形AGFD，得到DF=AG，证∠GBP=∠FPE，推出Rt△GBP≌Rt△FPE，推出EF=PG，根据等腰三角形的性质求出即可；
（2）根据勾股定理求出AG=DF=EF=

2

2

x，求出CE、PF，根据三角形的面积求出即可；
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：延长FP交AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°（正方形的四个内角都是直角）
∵PF⊥CD，
∴∠DFG=90°，
∴四边形AGFD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴DF=AG，∠AGF=90°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AGP是等腰直角三角形，即AG=GP，
∴GP=DF，
同理CF=PF=BG，
∵∠GPB+∠FPE=90°，∠GPB+∠GBP=90°，
∴∠GBP=∠FPE，
在Rt△GBP和Rt△FPE中

∠GBP=∠FPE BG=PF ∠BGP=∠PFE

，
∴Rt△GBP≌Rt△FPE（ASA），
∴GP=EF，
即DF=EF．

（2）解：在Rt△AGP中，∵AP=x，
∴AG=GP=

2

2

x，
DF=EF=

2

2

x，
即DE=

2

x，
∴CE=4-

2

x，
∵PF=4-

2

2

x，
∴y=

1

2

（4-

2

x）（4-

2

2

x）=

1

2

x²-3

2

x+8，
定义域：0≤x≤2

2

，
答：y关于x的函数关系式是y=

1

2

x²-3

2

x+8，自变量x的取值范围是0≤x≤2

2

．

（3）解：能够，
∵∠CEP≥90°，
若△PEC为等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°，
则PE⊥CE，
∵PE⊥PB，
∴BP∥CD，
∴BP∥BA
于是P与AB共线，又P在AC上，
∴A与P共点，
此时，PA=0；

作PE⊥PB交直线CD于点E，
当PA=4时，E在DC的延长线上，PC=CE，
△PEC为等腰三角形，
此时PA=4．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质和判定等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．