Question

（1）求证：81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（2）证明：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：

(24+ 1 4 )(44+ 1 4 )(64+ 1 4 )(84+ 1 4 )(104+ 1 4 )

(14+ 1 4 )(34+ 1 4 )(54+ 1 4 )(74+ 1 4 )(94+ 1 4 )

．

Answer 1

（1）∵81⁷-27⁹-9¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶（9-3-1）=45×3²⁴，
∴81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；

（2）反证法：假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差即2（2n+1）=a²-b²=（a+b）（a-b），
因为2（2n+1）是偶数，则a+b、a-b定有一个是偶数，
若a+b是偶数，则a、b具有相同的奇偶性，则a-b也是偶数；
同样的，若a-b偶，则a+b也偶，
则（a+b）（a-b）能被4整除也就是说2（2n+1）能被4整除，
即 2n+1能被2整除，但这是显然不成立的，
故原假设不成立，
∴当n为自然数时，2（2n+1）的形式的数不能表示为两个整数的平方差；

（3）∵x4+

1

4

=(x4+x2+

1

4

) -x2=(x2+

1

2

) 2-x2=(x2-x+

1

2

)(x2+x+

1

2

)
∴原式=

(4-2+ 1 2 )(4+2+ 1 2 )(42-4+ 1 2 )(42+4+ 1 2 )(62-6+ 1 2 )(62+6+ 1 2 )(82-8+ 1 2 )(82+8+ 1 2 )(102-10+ 1 2 )(102+10+ 1 2 )

1 2 × 5 2 (32-3+ 1 2 )(32+3+ 1 2 ) (52-5+ 1 2 )(52+5+ 1 2 )(72-7+ 1 2 )(72+7+ 1 2 )(92-9+ 1 2 )(92+9+ 1 2 )

=2×（102+10+

1

2

）
=221．