Question

【题目】定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为（ ）

A.（ ﹣ ，﹣ ）
B.（ ﹣ ，﹣ ）
C.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ，﹣ ）
D.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，

根据直线l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，

由勾股定理得：MN= =2 ，

①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，

由cos∠ABD=cos∠ONM= = ，

∴ = ，

∴AB= ，则AD=1，

∵DG∥y轴，

∴△MDG∽△MNO，

∴ = ，

∴ = ，

∴DG= ，

∴CG= + = ，

同理可得： = ，

∴ = ，

∴DH= ﹣ ，

∴C（ ﹣ ，﹣ ）；

②矩形在x轴上方时，同理可得：C（ + ， ）；

综上所述，C（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）；．

所以答案是：C．

【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．