Question

如图，二次函数y＝ax²－5ax＋4a(a≠0)的图象与x轴交于Ａ、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．

(1)求A、Ｂ两点的坐标；

(2)若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；

(3)在(2)的条件下，若直线x＝m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线与x轴交于A、B两点∴ax2－5ax＋4a＝0　1分 　　∵a≠0 　　∴x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4　3分 　　∴A(1，0)，B(4，0)　4分 　　(2)(方法一)连结AC、CD，由对称性知：四边形ABDC是等腰梯形 　　∴∠CAB＝∠DBA 　　在△ABC与△BAD中，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA 　　∴△ABC≌△BAD 　　∴∠1＝∠2　6分 　　∵AD⊥BC 　　∴∠1＝∠2＝45° 　　∵∠BOC＝90° 　　∴∠OCB＝∠1＝45° 　　∴OC＝OB＝4　∴C(0，4)　8分 　　把C(0，4)的坐标代入y＝ax2－5ax＋4a得4a＝4 　　∴a＝1 　　∴二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4　10分 　　(方法二)∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D 　　∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上　∴PA＝PB　6分 　　∵AD⊥BC 　　∴∠1＝∠2＝45° 　　∵∠BOC＝90° 　　∴∠OCB＝∠1＝45° 　　∴OC＝OB＝4 　　∴C(0，4)　8分 　　把C(0，4)的坐标代入y＝ax2－5ax＋4a得 　　4a＝4　∴a＝1 　　∴二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4　10分 　　(3)(方法一)S△ABD＝×3×4＝6 　　设直线x＝m与AD、AB分别交于M、N，则AN＝m－1由(2)得∠1＝45°，∠2＝90° 　　∴MN＝AN＝m－1 　　∴S△AMN＝(m－1)2　11分 　　当S△AMN＝S△ABD时，(m－1)2＝×6 　　解得m＝3(负值舍去)　12分 　　当S△AMN＝S△ABD时，(m－1)2＝×6 　　解得m＝＋1(负值舍去)　13分 　　过B作BE⊥AB交AD于E，则S△ABE＝4.5， 　　S△ABD＝4，∵4.5＞4 　　∴点N在线段AB上　∴m＜4 　　综上所述，m的值为3或＋1　14分 　　(方法二)S△ABD＝×3×4＝6 　　设直线x＝m与AD、AB分别交于M、N 　　由(2)得∠1＝45°，∠2＝90°　∴MN＝AN 　　∴S△AMN＝AN·MN＝AN2　11分 　　当S△AMN＝S△ABD时，AN2＝2，解得AN＝2． 　　∴ON＝3即m＝3　12分 　　当S△AMN＝S△ABD时，AN2＝4，解得AN＝ 　　∴ON＝＋1即m＝＋1　13分 　　过B作BE⊥AB交AD于E，则S△ABE＝4.5， 　　S△ABD＝4，∵4.5＞4 　　∴点N在线段AB上　∴m＜4 　　综上所述，m的值为3或＋1　14分 　　(注：没有判断直线x＝m与x轴交点在线段AB上扣1分)