Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）求证：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件“M是边AC的中点”知AM=MC=1；在直角三角形MBC中利用勾股定理求得MB=

5

，由∠HCB+∠HBC=∠CMH+∠MCH=90°求得∠MCH=∠MBC；所以sin∠MCH=

CM

BM

=

5

5

；
（2）在Rt△MHC中，利用边角关系求得MH的值，再在Rt△CBM中利用射影定理求得

MA

MH

=

MB

MA

；然后根据SAS判定△AMH∽△BMA；最后由相似三角形的对应角相等证明∠ABM=∠CAH；
（3）分三种情况讨论：①AD为底边时，AD的长度；②HD为底边时，AD的长度；③AH为底边时，AD的长度．

解答：解：（1）在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=

1

2

BC=1，（1分）
∴MB=

12+22

=

5

，（1分）
又CH⊥BM于H，则∠MHC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，（1分）
∴sin∠MCH=

CM

BM

=

5

5

．（1分）

（2）在△MHC中，MH=CM•sin∠MCH=

5

5

．（1分）
∴AM²=MC²=MH•MB，
即

MA

MH

=

MB

MA

，（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，（1分）
∴∠ABM=∠CAH．（1分）

（3）∵△AMH∽△BMA，
∴

AH

AB

=

AM

BM

，
在Rt△BMC中，BM=

22+12

=

5

，
在Rt△ABC中，AB=

2

AC=2

2

，
∴AH=

AM

BM

×AB=

1

5

×2

2

=

2 10

5

，
∵∠ABM=∠CAH，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠HAD=∠MCH，
①AD为底边时，如图1，AD=2AHcos∠HAD，
∵sin∠MCH=

5

5

，
∴cos∠HAD=

1-sin2∠MCH

=

2 5

5

，
∴AD=2×

2 10

5

×

2 5

5

=

8 2

5

；
②HD为底边时，如图2，AD=AH=

2 10

5

；
③AH为底边时，AD=

1

2

AH÷cos∠HAD=

1

2

×

2 10

5

÷

2 5

5

=

10

5

×

5

2 5

=

2

2

．
故AD的长为：

8 2

5

，

2 10

5

或

2

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及勾股定理的应用．解答（3）题时，注意要分三种情况来求AD的长度，即：①AD为底边时；②AH为底边时；③HD为底边时．以防漏解．