Question

如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且AB=2

2

，AO=4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，可以得到∠ACB=∠BOH，根据三角函数的定义即可求解；
（3）根据三角函数即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，则正方形的面积即可求解．

解答：解：（1）∠CAO=∠CBO=45°；

（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，
则∠BAH=45°
∴AH=2，BH=2
∴tan∠BOH=

BH

OH

=

1

3

又∠ACB=∠BOH
∴tan∠ACB=

1

3

．

（3）∵tan∠ACB=

1

3

，又AB=2

2

∴AC=6

2

∴BC²=80
∴正方形BCEF的面积是80．

点评：本题考查了正方形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．