Question

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=

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DE中，一定正确的有

①②③⑤

．

Answer 1

分析：①EF、FD是直角三角形斜边上的中线，都等于BC的一半；②可证△ABD∽△ACE；③证明∠EFD=60°；④假设结论成立，在BC上取满足条件的点H，证明其存在性；⑤当∠ABC=45°时，EF不一定是BC边的高．

解答：解：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中点，∴EF=DF=

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BC．故正确；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确；
④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE=

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BC=

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DE．
正确的①②③⑤．
故答案为①②③⑤．

点评：本题综合性较强，有一定的难度．主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义．