Question

在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°（如图）．

Answer 1

分析：锐角三角形中任意角都小于90°，且BM为中线，证明∠B＜60°通过证明三角形面积的方法可以求证．

解答：证明：作MH₁⊥BC于H₁，由于M是中点，所以MH1=

1

2

AH=

1

2

BM，
于是在Rt△MH₁B中，∠MBH₁=30°．
延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最大高，
由三角形的面积公式（S=

1

2

aha=

1

2

bhb=

1

2

chc）知，
BC是ABC中的最短边，所以
AN=BC＜AB，
从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，
∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．

点评：此题主要考查三角形中位线定理及在平行四边形中，三角形面积和角的计算．