Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点，点为某个菱形的一组对角的顶点，且点在直线上，那么称该菱形为点的“伴随菱形”，下图为点的“伴随菱形”的一个示意图．

已知点的坐标为(1，1)，点的坐标为．

（1）点中，能够成为点的“伴随菱形”的顶点的是__________________；

（2）如果四边形是点的“伴随菱形”．

①当点的坐标为时，求四边形的面积；

②当四边形中较小内角的度数为60°时，求四边形的面积；

③当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）F、G；（2）①4；②；③

【解析】

（1）根据点的坐标画图菱形，根据图形即可得到答案；

（2）①根据点N的坐标画图符合题意的图形，证明四边形是正方形，再根据面积公式计算即可；

②先求出MP的长度，根据已知条件证明△MNP和△MPQ都是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出NQ，即可根据菱形面积公式求出答案；

③根据菱形的面积求出OH，证明点N、Q分别在x轴上、y轴上，即可求出答案.

（1）观察图形可知：点F、G能够成为点的“伴随菱形”的顶点，

故答案为：F、G；

（2）①如图，

∵N(3，1)，M(1，1)，P(3，3)，

∴MN=2，PN⊥MN，

∵四边形是菱形，

∴四边形是正方形，

∴S四边形MNPQ=；

②∵M(1，1)，P(3，3)，

∴MP=

∵∠MNP=∠MQP=60°，MN=NP=PQ=MQ，

∴△MNP和△MPQ都是等边三角形，

∴MP=MN=2，

连接NQ，交MP于H，

∴∠MNH=30°，∠MHN=90°，

∴MH=,

∴HN=,

∴NQ=,

∴S四边形MNPQ=；

③如图，

∵MP=，菱形的面积为8，

∴,

∴NQ=,

∵四边形MNPQ是菱形，

∴MH=， NH=2

∵M(1，1)，

∴OM=，

∴OH=2，

作直线QN，交x轴于A，

∵M、P在直线y=x上，

∴∠MOA=45°，

∴△HOA是等腰直角三角形，

∴HA=OH=2，

∴点A与点N重合，即点N在x轴上，

同理可知：Q在y轴上，且ON=OQ=4，

由题意得：四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，b的取值范围是.