Question

（2013•燕山区一模）如图，四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，∠C=60°，AD=

3

，E为DC中点，AE∥BC．求BC的长和四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：过E作EF⊥BC于F，证明四边形 ABCD是矩形，在Rt△ADE中求出AE，DE的长度，根据E是中点，求出EC的长度，继而求出CF，则可得出BC的长度，根据四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形ABCE也可求出其面积．

解答：解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠B=90°，
∴AB∥EF，
∵AE∥BC，∠B=90°，
∴四边形 ABCD是矩形．
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠C=60°．
在Rt△ADE中，∠ADC=90°，AD=

3

，
∴DE=

AD

tan60°

=

3

3

=1，AE=

AD

sin60°

=2，
又∵E为DC中点，
∴CE=DE=1，
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，∠C=60°，
则CF=CE•cos 60°=

1

2

，EF=CE•sin 60°=

3

2

，
∴BC=BF+CF=AE+CF=2+

1

2

=

5

2

，
∴四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形ABCE
=

1

2

AD•DE+

1

2

（AE+BC）•EF
=

1

2

×

3

×1+

1

2

×（2+

5

2

）×

3

2

=

13 3

8

．

点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度一般，在各直角三角形中利用解直角三角形的方法求出各边长是解答本题的关键．