Question

【题目】顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B(3，0)，交y轴于点C，直线y＝﹣x+m经过点C，交x轴于E(4，0)．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)如图1，点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为x，四边形OCMN的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

(3)点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y＝﹣x+m于G，交抛物线于H，连接CH，将△CGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣)2+；当x＝时，S有最大值，最大值为；(3)存在，点P的坐标为(4，0)或(，0).

【解析】

（1）将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．

（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D，可求出直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示．

（3）设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．

（1）将点E代入直线解析式中，

0＝﹣×4+m，

解得m＝3，

∴解析式为y＝﹣x+3，

∴C(0，3)，

∵B(3，0)，

则有，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，

∴D(1，4)，

设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，

，

解得，

∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，

则点M的坐标为(x，﹣2x+6)，

∴S＝(3+6﹣2x)x＝﹣(x﹣)2+，

∴当x＝时，S有最大值，最大值为．

(3)存在，

如图所示，

设点P的坐标为(t，0)，

则点G(t，﹣t+3)，H(t，﹣t2+2t+3)，

∴HG＝|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)|＝|t2﹣t|

CG＝＝t，

∵△CGH沿GH翻折，G的对应点为点F，F落在y轴上，

而HG∥y轴，

∴HG∥CF，HG＝HF，CG＝CF，

∠GHC＝∠CHF，

∴∠FCH＝∠CHG，

∴∠FCH＝∠FHC，

∴∠GCH＝∠GHC，

∴CG＝HG，

∴|t2﹣t|＝t，

当t2﹣t＝t时，

解得t1＝0(舍)，t2＝4，

此时点P(4，0)．

当t2﹣t＝﹣t时，

解得t1＝0(舍)，t2＝，

此时点P(，0)．

综上，点P的坐标为(4，0)或(，0)．