Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）。

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）²+，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）²+=4，解得a=-，
∴所求抛物线的函数关系式为y=-（x-1）²+；
（2）解：P₁（1，），P₂（1，-），P₃（1，8），P₄（1，）；
（3）解：令-（x-1）²+=0，解得x₁=-2，x₁=4，
∴抛物线y=-（x-1）²+与x轴的交点为A（-2，0）C（4，0），
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB，
设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF=（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB·OC-EB·MF
=EB（OC-MF）
=（4-x）[4-（4-x）]
=-x²+x+=-（x-1）²+3，
∵a=-＜0，∴S有最大值，
当x=1时，S_最大值=3，
此时点E的坐标为（1，0）。