题目内容

如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2 $数学公式$ ），动点C在x轴上运动（不与点0、点A重合），连接BC．
（1）若点C为（3，0），则△ABC的面积为______；
（2）若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点0、点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A（6，0）和B（0，2 $\text{[math]}$ ），C（3，0），
∴AC=6-3=3，OB=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•OB= $\text{[math]}$ ×3×2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ；
故答案为：3 $\text{[math]}$ ；

（2）∵AC=6-x，OB=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•OB= $\text{[math]}$ ×（6-x）×2 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x+6 $\text{[math]}$ ；
∵点C（x，0）在线段OA上运动（不与点0、点A重合），
∴自变量x的取值范围为：0＜x＜6；

（3）如图，
①当AB=BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA=OC，
∴点C₁的坐标为：（-6，0）；
②当AB=AC时，
∵AB= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
点C₂（6+4 $\text{[math]}$ ，0），点C₄（6-4 $\text{[math]}$ ，0）；
③当AC=BC时，
设点C₃（x，0），
则6-x= $\text{[math]}$ ，
解得：x=2，
∴点C₁的坐标为：（2，0）；
综上可得：点C的坐标为：（-6，0）或（6+4 $\text{[math]}$ ，0）或（6-4 $\text{[math]}$ ，0）或（2，0）．
分析：（1）由点A（6，0）和B（0，2 $\text{[math]}$ ），点C为（3，0），即可求得AC与OB的长，继而可求得△ABC的面积；
（2）由点C（x，0）在线段OA上运动（不与点0、点A重合），即可求得AC=6-x，OB=2 $\text{[math]}$ ，继而求得△ABC面积y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；
（3）分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．