Question

如图，ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。

（1） 求证：DF=FE；
（2） 若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。

Answer 1

解：（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE；
（2）由（2）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=，
∴BE=；
（3）可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME，
在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=，由CF是△DME的中位线得CM=DC=，四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=，BM=AC=，
∴梯形ABMD面积为：；
由AC⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，其面积为：，
∴四边形ABED的面积为。