Question

如图，ABCD为平行四边形，以BC为直径的⊙O经过点A，∠D=60°，BC=2，一动点P在AD上移动，过点P作直线AB的垂线，分别交直线AB、CD于E、F，设点O到EF的距离为t，若B、P、F三点能构成三角形，设此时△BPF的面积为S．
（1）计算平行四边形ABCD的面积；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）△BPF的面积存在最大值吗？若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求平行四边形ABCD的面积，已知底边AB，再需证明AC为平行四边形ABCD底边AB上的高即可，并求得AC的大小．因此根据圆O为△ABC外接圆，BC为圆O的直径，可得到AC⊥AB；根据∠D的大小得到∠B的大小．在Rt△ABC中，根据边角间的关系可求得AC、AB的值．进而求得平行四边形ABCD的面积．
（2）作OH⊥AB于点H，由（1）和垂径定理知BH的大小．要求△BPF的面积为S，需求底边PF的值与高EB的值．要求PF的值可根据∠D与FD来求得，进一步需求得CD与FC的大小，通过AB=CD、EA=FC，均用t来表示．而EB=EH+BH，也用t来表示，代入三角形面积公式即可．
（3）根据（2）中得出的函数式，利用配方法根据t的取值范围，求得最大值．

解答：
解：（1）连接AC，
∵BC为直径，
∴AC⊥AB，
在平行四边形ABCD中，
∵∠D=60°，BC=2，
∴∠ABC=∠D=60°，AD=BC=2，
∴AB=

1

2

BC=1，
由勾股定理，得AC=

3

，
∴S△ABCD=AB•AC=

3

；

（2）作OH⊥AB于点H，
由（1）和垂径定理知BH=

1

2

，
∵O到EF的距离为t，
∴BE=t+

1

2

，
在矩形ACFE中，CF=AE，AC=EF=

3

，
∵AE=t+

1

2

-1=t-

1

2

，
∴CF=t-

1

2

，
在平行四边形ABCD中，CD=AB=1，
∴DF=CD-CF=1-(t-

1

2

)=

3

2

-t，
∵

PE

DF

=tan60°，
∴PF=

3

(

3

2

-t)，
∴S=

1

2

PF•BE=

1

2

(t+

1

2

)•

3

(

3

2

-t)=

3

2

(-t2-

1

2

t+

3

2

t+

3

4

)=-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

（

1

2

≤t≤

3

2

）；

（3）存在，由（2）知S=-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

（

1

2

≤t≤

3

2

），
得S=-

3

2

(t-

1

2

)2 +

3

2

（

1

2

≤t≤

3

2

），
∴当t=

1

2

时，S有最大值

3

2

．
答：（1）平行四边形ABCD的面积为

3

；（2）S关于t的函数关系式为-

3

2

t2+

3

2

t+

3

8

3

，自变量x的取值范围为

1

2

≤t≤

3

2

；（3）△BPF的面积存在最大值，当t=

1

2

时，S有最大值

3

2

．

点评：本题着重考查了二次函数解析式、平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、探究二次函数求极值等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查数形结合的数学思想方法．