Question

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在中，点分别在上，

设相交于点，若，．

请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形

是等对边四边形；

（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）如平行四边形、等腰梯形等

（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）。

四边形DBCE是等对边四边形。

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。

因为，BC为公共边，

所以。

所以BF=CG。

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，

∠BEC=∠ABE+∠A，

所以∠BDF=∠BEC。

可证。

所以BD=CE。

所以四边形DBCE是等对边四边形。

证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。

因为，BC为公共边，

所以。

所以BD=CF，∠BDC=∠CFB。

所以∠ADC=∠CFE。

因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，

∠FEC=∠A+∠ABE，

所以∠ADC=∠FEC。

所以∠FEC=∠CFE。

所以CF=CE。

所以BD=CE。

所以四边形DBCE是等对边四边形。