Question

平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F． 
（1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长；
（2）求证：AD=BF+CG．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）由“平行四边形的对角相等”推知∠C=∠BAD=60°，则通过解直角△BCG得到BC的长度，所以CE=BC-BE=BC-BG；
（2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．构建全等三角形：△ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后结合三角形外角的性质易证∠PAF=∠4，则AP=PF．所以结合图形知PF=PB+BF=CG+BF，则AD=BF+CG．

解答：解：（1）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°．
∵BG垂直于CD，
∴∠BGC=90°，
∴BC=

BG

sin60°

．
又∵AB=BG=BE=3，
∴BC=

3

3 2

=2

3

，
∴CE=BC-BE=BC-BG=2

3

-3；

（2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．
在△ABP与△BGC中，

AB=BG ∠ABP=∠BGC=90° BP=GC

，
∴△ABP≌△BGC（SAS），
∴BC=AP=AD，∠1=∠2．
∵∠4=∠2+∠3．
又∵AB=BE，
∴∠5=∠3，
∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4，
∴AP=PF．
又∵PF=PB+BF=CG+BF，
∴AD=BF+CG．

点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知AP=PF是解题的难点．