Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=10，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2），则始终有△AGC∽△HGA∽△HAB．设CG=x，BH=y．
（1）求y关于x的关系表达式（只要求根据图（2）的情况说明理由）；
（2）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？请写出你的推理过程．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得函数解析式；
（2）当CG＜

1

2

BC时，根据三角形中大角对大边即可证得是不可能构成；
当CG=

1

2

BC时，根据线段的垂直平分线的性质即可证得；
当CG＞

1

2

BC时，根据△AGC∽△HGA即可证得．

解答：解：（1）∵△AGC∽△HAB，
∴

CG

AB

=

AC

BH

，即

x

10

=

10

y

，
所以，y=

100

x

（2）当CG＜

1

2

BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH．
∵AG＜AC，
∴AG＜GH，又AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
当CG=

1

2

BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC=5

2

，即x=5

2

．
当CG＞

1

2

BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA．
若△AGH必是等腰三角形，存在AG=AH．
若AG=AH，则AC=CG，此时x=10．
或者AH=GH，此时x=10

2

．
综上，当x=10或5

2

或10

2

时，△AGH是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，正确进行讨论是关键．