Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点O为底边上的中点，以点O为圆心，1为半径的半圆与边AB相切于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A=60°时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E．根据等腰三角形三线合一的性质可得出OD=OE，即可得出直线AC与⊙O相切；
（2）根据S_阴影=S_{四边形ADOE}-S_扇形形ODE即可得出答案，由S_{四边形ADOE}-=2S_△ADO．可计算∠DOE=120°，BD=，OB=，AD=．
解答：解：（1）直线AC与⊙O相切．（1分）
理由是：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．（2分）
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC（3分）
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD=OE（4分）
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，
∴直线AC与⊙O相切．（5分）

（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=，
∴AD==，同理可得AE=，
∴S_{四边形ADOE}=×OD×AD×2=×1××2=，（6分）
又∵S_扇形形ODE==π，（7分）
∴S_阴影=S_{四边形ADOE}-S_扇形形ODE=-π．（8分）
点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质以及扇形面积的计算，将阴影部分的面积转化成比较熟悉的图形的面积进行计算．