Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．

（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．

，

点都在抛物线上，

  

抛物线的解析式为

顶点

（2）存在

（3）存在

理由：

解法一：

延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．

过点作于点．

点在抛物线上，

在中，，

，，

在中，，

，，

设直线的解析式为

   解得

   解得 

在直线上存在点，使得的周长最小，此时．

解法二：

过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．

连接交于点，则点即为所求．

过点作轴于点，则，．

，

同方法一可求得．

在中，，，可求得，

为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，

垂直平分．

即点为点关于的对称点．

设直线的解析式为，由题意得

   解得

   解得 

在直线上存在点，使得的周长最小，此时．