Question

如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

(1)求BD 的长；

(2)求∠ABE+2∠D的度数；

(3)求的值．

Answer 1

解：

（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，

∵AB是小圆的切线，C是切点，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中点．

∵AD是大圆的直径，

∴O是AD的中点．

∴OC是△ABD的中位线．

∴BD＝2OC＝10．

（2） 连接AE，由（1）知C是AB的中点．

同理F是BE的中点．

由切线长定理得BC＝BF．

∴BA＝BE．　　　　　　　　　

∴∠BAE＝∠E．

∵∠E＝∠D，

∴∠ABE+2∠D＝∠ABE+∠E+∠BAE＝180º．

（3） 连接BO，在Rt△OCB中，

∵OB＝13，OC＝5，

∴BC＝12．

由（2）知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC．

∵∠BGO＝∠AGB，

∴△BGO∽△AGB．

∴．