Question

（1）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
①填空：∠ABC=

 

°；∠DEF=

 

°；BC=

 

；DE=

 

；
②判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
（2）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：△ADE≌△DCF．

Answer 1

分析：（1）①因为BC、DE是正方形的对角线，根据正方形对角线平分对角计算角度；根据勾股定理求长度．②证明两边对应成比例，且夹角相等判定相似．
（2）AE⊥DG，CF∥AE，则∠AED=∠DFC=90°；∠CDF+∠ADE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，则∠CDF=∠DAE．两角对应相等则相似．

解答：（1）解：①135°，135°，2

2

，

2

；
②△ABC与△DEF相似．                                    
理由：由图可知，AB=2，EF=2
∴

AB

BC

=

DE

EF

=

1

2

=

2

2

．                                   
∵∠ABC=∠DEF=135°，
∴△ABC∽△DEF．                                        

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADG+∠CDG=90°．                                   
又∵AE⊥DG，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠CDG．                                          
∵CF∥AE，
∴∠CFD=∠AEG=90°，
∴∠AED=∠CFD．                                        
∴△ADE≌△DCF．                                        
（注：如果有不同的解题方法，只要正确，可参考评分标准，酌情给分．）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质．问题（1）是网格问题，要求学生有较强的分析能力，难度偏上．