Question

如图：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合．
（1）若点F在AB上，且EF平分△ABC的周长，设AE=x，用含x的代数式表示S_△AEF；
（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长，若不存在，请说出理由．

Answer 1

分析：若求△AEF的面积，由已知知道其底边长，只需求出高就行了，利用平行线分线段成比例定理，建立中间量，即可求出其高度，第二问先假设成立，再建立平衡方程，进一步验证．最终得出结论．

解答：解：（1）过点F作FM⊥AC于M，
EF平分△ABC的周长，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，
即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．
由平行线分线段成比例定理可知，
AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，
解得FM=

24-4x

5

，
所以S_△AEF=

1

2

 × 

24-4x

5

 •x=

12x-2 x2

5

（2）若EF存在，
①当F在AB上时，如图1，
则由（1）可知，S_△AEF=

12-2x2

5

=

1

2

 ×3×4×

1

2

=3，
化简得，2x²-12x+15=0，由△=12²-4×2×15=24＞0，
解得x₁=

6- 6

2

，x₂=

6+ 6

2

（不合题意舍去）．
即AE=

6- 6

2

．
②当F在BC上时，如图2，
CF+CE=AE+AB+BF，
即CF+3-x=x+5+4-CF，
CF=3+

1

2

x，
根据面积平分得出S_△CFE=S_{四边形BFEA}=

1

2

S_△ACB=3，
即

1

2

×（3-x）×（3+

1

2

x）=3，
解得：x₃=

-3+ 33

2

，x₄=

-3- 33

2

（舍去），
即存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，AE的长是

6- 6

2

或

-3+ 33

2

．

点评：能够将未知量通过求中间量建立等式关系，进而求解，另外对于类似第二问中的问题，可用假设的方法求解．