Question

已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）。
（1）请在给出的直角坐标系XOY中（下图），画出△ABC，设AC交X轴于点D，连结BD，证明：OD平分∠ADB；
（2）请在X轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
（3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式。

Answer 1

解：（1）画图如右 ∵OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB， ∴DA=DB， 从而OD平分∠ADB； （2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，则E（4，0）， 使四边形AOCE为平行四边形，理由如下： ∵AO=2=CE，又AO⊥x轴，CE⊥x轴AO∥CE， ∴四边形AOCE是平行四边形； （3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k1x+b1， 则 ∴直线AC的解析式为y=-x+2， 令y=0，得x=2， 故D的坐标为（2，0）， 由于抛物线关于CE对称，故D关于CE的对称点D′（6，0）也在抛物线上， 所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 则有， ∴抛物线解析式为y=， 其顶点为F， 设经过F，A（0，2）的解析式为y=k2x+b2， 则， ∴直线FA的解析式为y=-x+2。