Question

已知点A是直线y=-3x+6与y轴的交点，点B在第四象限且在直线y=-3x+6上，线段AB的长度是3

5

．将直线y=-3x+6绕点A旋转，记点B的对应点是B₁，
（1）若点B₁与B关于y轴对称，求点B₁的坐标；
（2）若点B₁恰好落在x轴上，求sin∠B₁AB的值．

Answer 1

分析：（1）欲求点B₁的坐标，求出点B坐标即可．过点B作BD⊥Y轴，垂足为D，利用三角形相似就可以求出B的坐标；
（2）欲求sin∠B₁AB的值，需构建直角三角形，因此过B₁作B₁E⊥AC，垂足为E，运用面积法求出B₁E即解．

解答：解：（1）如图，设直线y=-3x+6与x轴交于点C，
则C（2，0）．
∴AC=

62+22

=2

10

，
过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
∴△AOC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

OC

DB

，
∴DB=

3 5 ×2

2 10

=

3

2

2

，
又∵

AC

AB

=

AO

AD

，
∴AD=

3 5 ×6

2 10

=

9

2

2

，
∴OD=

9

2

2

-6，
=

9 2 -12

2

，
∴点B（

3

2

2

，

12-9 2

2

），
∴点B₁（-

3

2

2

，

12-9 2

2

）；

（2）当直线AB绕点A顺时针旋转，点B的对应点落在x负半轴上时，记点B的对应点为B₁．
∵AB=3

5

由旋转的性质可知AB₁=AB=3

5

，
∴B₁O=

(- 3 2 2 ) 2+( 12-9 2 2 )2

=3，
B₁C=5，
过B₁作B₁E垂直AC，垂足为E．
则有

1

2

×B₁E×AC=

1

2

×AO×B₁C，
∴B₁E=

6×5

2 10

=

3

2

10

，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB=

B1E

AB1

=

3 2 10

3 5

=

2

2

，
当直线AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点落在x正半轴上时，记点B的对应点为B₂．
则B₂O=3，
过B₂向AB作垂线B₂F，垂足为F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴

B1E

FB2

=

B1C

CB2

，
∴FB₂=

3

10

10

，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF=

B2F

AB2

=

3 10 10

3 5

=

2

10

，
∴sin∠B₁AB的值是

2

2

或

2

10

．

点评：此题主要考查一次函数的图形和性质、相似三角形判定和性质及三角函数定义，此外还考查了对称和旋转的性质，综合性比较强．