题目内容
含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=______°；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．
【答案】分析：（1）有旋转可得出∠α；
（2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；
（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，得出直线A′C与⊙E相交．
解答：
解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；
（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；
②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．
证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．
∵DE∥A′B′，
∴
．
由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴
．
∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．
与①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，
，
．
由△CAD∽△CBE得
．
∵AD=x，
∴
，
．
①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此时，
．
当S=
时，
．
整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）
∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相切．
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如图2）.
．
当S=
时，
．
整理，得x2-2x-1=0．
解得
，
（负值，舍去）．
即
．
此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相交．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．
（2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；
（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，得出直线A′C与⊙E相交．
解答：
解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；
②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．
证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．
∵DE∥A′B′，
∴
．由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴
．∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．
与①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，
，．由△CAD∽△CBE得
．∵AD=x，
∴
，．①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此时，
．当S=
时，．整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）
∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相切．
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如图2）.
．当S=
时，．整理，得x2-2x-1=0．
解得
，（负值，舍去）．即
．此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相交．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．
练习册系列答案
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