Question

如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A（-1，0），C点的坐标为．

（1）求M点的坐标；
（2）如图，P为上的一个动点，CQ平分∠PCD．当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其变化范围；

（3）如图，以A为圆心AC为半径作⊙A，P为⊙A上不同于C、D的一个动点，直线PC交⊙M于点Q，K为PQ的中点，当P点运动时，现给出两个结论：①的值不变；②线段OK的长度不变．其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作辅助线，连接MC，在Rt△COM中，运用勾股定理可将⊙M的半径求出，已知点A的坐标，进而可将圆心M的坐标求出；
（2）作辅助线，连接AC，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2为定值；
（3）线段OK的长度不变，作辅助线，连接PD、QD、KD，可得：⊙A、⊙M为等圆，=，∠DPQ=∠DQP，△DPQ为等腰三角形，又K为PQ的中点，可得：DK⊥PQ，故在Rt△DKC中，OK为斜边的中线．
解答：解：（1）连接MC，设⊙M的半径为R
∵A（-1，0），C（0，），OC²+OM²=MC²
∴
解得R=2．
∴M点的坐标为（1，0）．

（2）AQ不变，AQ=AC=2．
连接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不变，OK=．
连接PD、QD、KD，
∵AC==2
∴⊙A的半径为2
∵⊙A的半径为2，⊙M的半径为2
∴⊙A、⊙M为等圆
∴
∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K为PQ的中点
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴=OC=．
点评：本题考查垂径定理的应用．解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．