题目内容
【题目】如图，四边形
中，
，
，
，将
绕着点
顺时针旋转
得
，连接
，
．
（1）求证：
≌
；
（2）求证：
；
（3）若
，点
在四边形内部运动，且满足
，求点运动路径的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
．
【解析】
（1）根据等式的基本性质可得
，然后利用SAS即可证出
≌
；
（2）根据四边形的内角和和全等三角形的性质可得
，从而求出∠CBE=90°，根据勾股定理可得
，根据等边三角形的判定及性质可得
，从而证出结论；
（3）如图，设
为满足条件的点，将
绕着点
顺时针旋转60度得
，连接
，
，
，
，， DB，先利用SAS证出
≌
，从而得出
，∠AQD=∠AFB，然后证出
为等边三角形，△ADB为等边三角形，从而得出
， DB=AB=2，然后根据勾股定理的逆定理可得
，根据四点共圆证出点的路径为过
、
、
三点的圆上
，求出圆心角和半径即可求出点运动路径的长度．
证明：（1）∵
∴
∴
在和中
∴≌
（2）在四边形
中
∵≌
∴
，
∴
∴
∴
又∵
，
∴△AEC为等边三角形
∴
∴
（3）如图，设为满足条件的点，将绕着点顺时针旋转60度得，连接，，
，，， DB．
∵
∴
∴
在和中
∴≌
∴，∠AQD=∠AFB，
∵
，AQ=AF，∠DAB=60°，AD=AB
∴为等边三角形，△ADB为等边三角形
∴， DB=AB=2
∵
∴
∴
∴
∵∠BCD=30°
∴∠DQB＋∠BCD=180°
∴点的路径为过、、三点的圆上
设圆心为
，连接OD、OB
则
，
∴△OBD为等边三角形
∴
，
∴点的运动的路径长为：
．
【题目】一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 | 办卡费用（元） | 每次游泳收费（元） |
A 类 | 50 | 25 |
B 类 | 200 | 20 |
C 类 | 400 | 15 |
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（ ）
A.购买A类会员卡B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡
