Question

如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则

FE

EC

=

 

．

Answer 1

分析：连接OE、OF、OC，根据切线长定理证明∠COF=90°；根据切线的性质得OE⊥CF．则△EOF∽△EOC，得EF与EC的关系式，然后求解．

解答：解：连接OE、OF、OC．
∵AD、CF、CB都与⊙O相切，
∴CE=CB；OE⊥CF； OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF=180°，
∴∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°．
∴△EOF∽△EOC，得 OE²=EF•EC．
设正方形边长为a，则OE=

1

2

a，CE=a．
∴EF=

1

4

a．
∴

EF

EC

=

1

4

．
故答案为

1

4

．

点评：此题考查切线的性质和切线长定理及相似三角形的判定与性质，综合性较强，有相当的难度．