Question

如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由
（3）当⊙O的半径R（R＞0）为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求扇形的半径，再根据弧长公式求值．
（2）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直角（圆锥底面圆的周长即弧BC的长）．然后进行比较即可．
（3）同（2），需要求出底面半径和剩下的料的最短边之间的大小关系．

解答：解：（1）连接BC，
∵∠A=90°，
∴BC为直径，
∴BC过圆心O，
由勾股定理求得：AB=AC=

2

，
S=

nπR2

360

=

1

2

π；

（2）连接AO并延长，与弧BC和⊙O交于E、F，
∵AB=AC，BO=CO，
∴AO⊥BC，
∴EF=AF-AE=2-

2

，
弧BC的长：l=

nπR

180

=

2

2

π；
∵2πr=

2

2

π，
∴圆锥的底面直径为：2r=

2

2

；
∵2-

2

＜

2

2

，
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

（3）由勾股定理求得：AB=AC=

2

R；
弧BC的长：l=

nπR

180

=

2

2

πR，
∵2πr=

2

2

πR，
∴圆锥的底面直径为：2r=

2

2

R；
EF=AF-AE=2R-

2

R=(2-

2

)R，
∵2-

2

＜

2

2

且R＞0；
∴(2-

2

)R＜

2

2

R．
即无论半径R为何值，EF＜2r．
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

点评：此题的关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系．利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．