Question

若D、E分别是直角△ABC的斜边AB上的三等分点，且CD=cosα，CE=sinα，如图，则斜边AB=

 

．

Answer 1

分析：分别设出直角三角形三边的长，用余弦定理表示出cos²α和sin²α，再用sin²α+cos²α=1以及勾股定理进行计算求出斜边的长．

解答：解：如图：设AC=b，BC=a，AB=3x，在△ACD中，由余弦定理及题设条件，得：
cos²α=x²+b²-2bxcosA=x²+b²-2bx•

b

3x

=x²+

1

3

b²（1）
同理，在△BCE中，得sin2α=x2+a2-2ax•cos(90°-A)=x2+a2-2ax•

a

3x

=x2+

1

3

a2（2）
（1）+（2）得1=2x2+

1

3

(a2+b2)
又∵a²+b²=9x²代入解之，得x=

5

5

，
故AB=

3 5

5

．
故答案是：

3 5

5

．

点评：本题考查的是解直角三角形，分别设出直角三角形三边的长，根据余弦定理用含a，b，x的式子表示cos²α和sin²α的，再用cos²α+sin²α=1和勾股定理计算求出x，得到直角三角形斜边的长．