Question

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图1，若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF．求证：①△AED≌△CFD；②△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，点F、E分别D在CA、AB的延长线上，且AE=CF，猜想△DEF是否为等腰直角三角形？如果是请给出证明．

Answer 1

分析：（1）①利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出答案；
②利用全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF进而得出△DEF为等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠DAC AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；

②∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）△DEF为等腰直角三角形，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠C AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出AD=BD=DC是解题关键．