题目内容

如图1，B是长度为1的线段AE上任意一点，在AE的同一侧分别作正方形ABCD和长方形BEFG，且EF=2BE．

（1）点B在何处时，正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和最小，最小值为多少？
（2）若点C与点G重合，M为AB中点，N为EF中点，MN与BC交于点H（如图2所示），将△OMA沿直线DM，△MNE沿直线MN分别向矩形AEFD内折叠，求四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积．

解：（1）设BE=x，则AB=1-x，EF=2x，根据题意得：
S=（x-1）²+2x²=3x²-2x+1，
当x= $\text{[math]}$ ，即BE= $\text{[math]}$ ，S_最小= $\text{[math]}$ ．

（2）当BE= $\text{[math]}$ 时，AB=AD= $\text{[math]}$ ，
所以四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积为： $\text{[math]}$ -4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据正方形的性质和折叠的特点可用含x的式子表示出线段的长度，用含x的式子表示出正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和利用二次函数的最值问题求出，当x= $\text{[math]}$ ，即BE= $\text{[math]}$ ，S_最小= $\text{[math]}$ ．
（2）根据（1）可知BE= $\text{[math]}$ 时，AB=AD= $\text{[math]}$ ，所以四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积为： $\text{[math]}$ -4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：主要考查了展开与折叠，正方形和二次函数的综合题．要掌握数形结合的方法，会利用二次函数的最值找到几何图形着的动点问题的最值．