Question

如图，已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），P为x轴上一点，若S△ACD=

1

2

S△PAC，求点P的坐标；
（3）如图（2），M为抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使以M、D、Q为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=3OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）因为S_△PAC=2S_△DAC，所以点P到AC的距离是点D到AC的距离的两倍，先过D点作AC的平行线，求出这条平行线与x轴交点的坐标，然后确定点P的坐标．
（3）分别从MQ⊥DQ（△MDQ∽△BDO或△MDQ∽△DBO）与DM⊥QM（△DMQ∽△DOB或△DMQ∽△BOD）去分析，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的知识，即可求得所有符合条件的Q点的坐标．

解答：解：（1）由y=ax²-2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依题意有：

a+2a+b=0 b=3

，
解得

a=-1 b=3

；
∴y=-x²+2x+3，
答：抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）∵A（-1，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=3x+3，
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（1，4），
设过点D与AC平行的直线的解析式为：y=3x+b，
把点D的坐标代入得：b=1，
∴y=3x+1，
当y=0时，x=-

1

3

，设这个点为E（-

1

3

，0），
∴AE=

2

3

．
∵S_△PAC=2S_△DAC，
∴AP=2AE=

4

3

，
∴P（

1

3

，0）或（-

7

3

，0）．

（3）存在．
设M的坐标为（x，-x²+2x+3），
①过点M作MQ⊥抛物线的对称轴于Q，
∴点Q的坐标为（1，-x²+2x+3），
∴MQ=1-x，DQ=4-（-x²+2x+3）=x²-2x+1，
∵OB=3-1=2，OD=4，
若△MDQ∽△BDO，
则

DQ

DO

=

MQ

BO

，
即：

x2-2x+1

4

=

1-x

2

，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴点Q的坐标为（1，0）；
若△MDQ∽△DBO，
则

DQ

BO

=

MQ

DO

，
即：

x2-2x+1

2

=

1-x

4

，
解得：x₃=1（舍去），x₄=

1

2

，
∴点Q的坐标为（1，

15

4

）；
②若∠DMQ=90°，
过M作ME⊥DQ于E，
若△DMQ∽△DOB，
则∠MDQ=∠BDO，∠MQD=∠DBO，
∴tan∠MDQ=tan∠BDO，
即

ME

DE

=

OB

OD

，
∴

1-x

x2-2x+1

=

2

4

，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴DE=x²-2x+1=4，
∴ME=2，
同理可得：EQ=1，
∴QD=5，
∴OQ=1，
∴Q的坐标为（1，-1）；
若△DMQ∽△BOD，
则∠MDQ=∠DBO，∠MQD=∠BDO，
∴tan∠MDQ=tan∠DBO，
即

ME

DE

=

OD

OB

，
∴

1-x

x2-2x+1

=

4

2

，
解得：x₃=1（舍去），x₄=

1

2

，
∴DE=x²-2x+1=

1

4

，
∴ME=

1

2

，
同理可得：EQ=1，
∴QD=

3

2

，
OQ=4-

3

2

=

5

2

，
∴Q的坐标为（1，

5

2

）；
综上，可知Q点的坐标为：（1，0），（1，

15

4

），（1，-1），（1，

5

2

）．

点评：此题考查了待定系数法求出二次函数的解析式，利用三角形的面积和一次函数的性质确定点P的坐标，相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．