Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线相交于两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求、两点的坐标；

（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）；坐标为或或或.

【解析】

（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，
（2）联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标

解：（1）∵顶点坐标为，

∴设抛物线解析式为，

又抛物线过原点，∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：，

即.

（2）联立抛物线和直线解析式可得，

解得：或，

∴，；

（3）存在；坐标为或或或.

理由：假设存在满足条件的点，

设，则，

∴，，

由（2）知，，，

∵轴于点，

∴，

∴当和相似时，有或，

①当时，

∴，即，

∵当时、、不能构成三角形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

此时点坐标为：或；

②当时，

∴，

即，

∴，

∴，

解得：或，

此时点坐标为：或，

综上可知，在满足条件的点，其坐标为：或或或.