Question

如图，AB为⊙O直径，过弦AC的点C作CF⊥AB于点D，交AE所在直线于点F．
（1）求证：AC²=AE•AF；
（2）当弦AC绕点A沿顺时针旋转（C、F不与A、B、E重合）时，请画出满足题意的其它的全部图形；
（3）猜想每个图形是否还有（1）中的结论，并就其中的一个图形证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）连接CE、延长CF与圆交于H点，由题意可知

AH

=  

AC

，可得∠ACH=∠E，推出△ACF∽△AEC，即可推出结论；
（2）根据题意画出图形；
（3）每个图形都有（1）中的结论，如图一，根据题意可知

AH

=

AC

，可得∠ACF=∠AEC，推出△ACF≌△AEC，即可得结论．

解答：证明：（1）连接CE、延长CF与圆交于H点，
∵AB为⊙O直径，CF⊥AB，
∴

AH

=  

AC

，
∴∠ACH=∠E，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF；

（2）图一：

图二：


（3）每个图形都有（1）中的结论如图一，
解：连接CE，
∵AB为⊙O直径，CF⊥AB，
∴

AH

=

AC

，
∴∠ACF=∠AEC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF．

点评：本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题关键在于根据题意画出图形，作好辅助线、找到相似三角形．