Question

【题目】如图，抛物线经过、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．

（3）若是抛物线上一动点，是否存在点，使的面积是？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，和

【解析】

（1）把点A（0，6）、B（4，2）代入y＝x2＋bx＋c，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；

（2）先利用配方法求出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法分别求出直线AB与直线OB的解析式，将顶点横坐标的值分别代入两直线的解析式，求出对应的y的值，进而得出m的取值范围；

（3）设抛物线上存在点P（x，x2＋3x＋6），使△PAB的面积是10．过P作x轴的垂线，交直线AB于Q，则Q（x，x＋6）．分两种情况进行讨论：①点P在AB上方；②点P在AB下方．根据△PAB的面积是10列方程求解．

解：（1）抛物线过，，则有：

解之得：　　

∴所求的解析式是：

（2）∵

∴ 顶点的坐标为．

设直线的解析式是，因为直线经过、两点，

所以有， 解之得：

∴直线的解析式为．

设直线的解析式是，因为直线经过、两点，

所以有 ，解之得：

∴直线的解析式为．

把代入得

把代入得

∵，

∴．

（3）设抛物线上存在点P（x，x2＋3x＋6），使△PAB的面积是10．

过P作x轴的垂线，交直线AB于Q，

∵直线的解析式为，则Q（x，x＋6）．

分两种情况：①点P在AB上方时，

PQ＝x2＋3x＋6（x＋6）＝x2＋4x，

∵△PAB的面积＝△PAQ的面积＋△PQB的面积

＝PQ4＝2PQ＝10，

∴PQ＝5，

∴x2＋4x＝5，

解得x无实数根；

②点P在AB下方时，

PQ＝（x＋6）（x2＋3x＋6）＝x24x，

∵△PAB的面积＝|△PAQ的面积△PQB的面积|

＝PQ4＝2PQ＝10，

∴PQ＝5，

∴x24x＝5，

解得x1＝1，x2＝5，

故所求P点坐标为（1，2）或（5，4）．

综上，存在和使的面积是．