Question

11．如图，已知在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下面结论中：
①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；
③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
④BE+BF=$\sqrt{2}$OA；⑤AE²+BE²=2OP•OB．
正确结论的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；
由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；
由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，③正确；
由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=$\sqrt{2}$OA，④正确；
由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，再证明△OPF∽△OFB，得出对应边成比例OP：OF=OF：OB，得出OF²=OP•OB，得出⑤正确．

解答 解：①不正确；
图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOB和△COB中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{OB=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBF=45°}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOE=∠BOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF；
②正确；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
③正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积；
④正确．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=$\sqrt{2}$OA；
⑤正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF=∠OFP=45°，
∠POF=∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
∴OP：OF=OF：OB，
∴OF²=OP•OB，
∴AE²+CF²=20P•OB．
正确结论的个数有4个；
故选：A．

点评 本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．