Question

如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

1）答：BD和⊙O相切.

证明：∵OD⊥BC,

               ∴∠OFB=∠BFD =90°,

               ∴∠D+∠3=90°.

               ∵∠4=∠D=∠2,　　　

               ∴∠2+∠3=90°,

               ∴∠OBD=90°,

               即OB⊥BD.

               ∵点B在⊙O上，

                 ∴BD和⊙O相切.  

  (2) ∵OD⊥BC,BC=8,

                 ∴BF=FC=4.    

∵  AB=10,

       ∴OB=OA=5.

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF=3.              

∴tan∠1=.

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴. …