Question

如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．

（1）若m=2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，

∴对称轴x=2，

令y=0，则x2﹣4x=0，

解得x=0，x=4，

∴A（4，0），

∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，

∴B（1，﹣3），

∴C（3，﹣3）．

（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞0），

∴A（2m，0）对称轴x=m，

∵P（1，﹣m）

令x=1，则y=1﹣2m，

∴B（1，1﹣2m），

∴C（2m﹣1，1﹣2m），

∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5．AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，

∵△ACP为直角三角形，

∴PA2=PC2+AC2，

即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：2m2﹣5m+6=0，

解得：m=，m=1（舍去），

故m=．

（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），设直线PC的解析式为y=kx+b，

∴，解得：k=﹣，

∵PE⊥PC，

∴直线PE的斜率=2，

设直线PE为y=2x+b′，

∴﹣m=2+b′，解得b′=﹣2﹣m，

∴直线PE：y=﹣2x﹣2﹣m，

令y=0，则x=﹣1﹣，

∴E（﹣1﹣m，0），

∴PE2=（﹣m）2+（﹣2﹣m）2=≠PC2

∴在x轴上不存在E点，

令x=0，则y=﹣2﹣m，

∴E（0，﹣2﹣m）

∴PE2=（﹣2﹣2m）2+12≠PC2，

∴y轴上不存在E点，

故坐标轴上不存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形