Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；

（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；

（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）2.3或4.2

【解析】

（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；

（2）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系；

（3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解.

（1）如图．

（2）判断：直线DE是⊙O的切线．

证明：连结OD，交BC于F．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD．

∴．

∴OD⊥BC于F．

∵DE∥BC，

∴OD⊥DE于D．

∴直线DE是⊙O的切线．

（3）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵AB=10，BC=8，

∴AC=6．

∵∠BOF=∠ACB=90°，

∴OD∥AC．

∵O是AB中点，

∴OF==3．

∵OD==5，

∴DF=2．

∵DE∥BC，OD∥AC，

∴四边形CFDE是平行四边形．

∵∠ODE=90°，

∴平行四边形CFDE是矩形．

∴CE=DF=2．