Question

【题目】已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．

（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；

（2）求二次函数解析式；

（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y＝x+;(2) 二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+；(3)8.

【解析】

（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即可求解；

（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，即可求解；

（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，即可求解．

解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，

即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），

点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：

即直线l的表达式为：①，

同理可得直线AC的表达式为：

直线BD的表达式为：②，

联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；

（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，

即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：（舍去负值），点C（1，2），

将点C的坐标代入二次函数并解得：

故二次函数解析式为：

（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），

作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），

则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，

∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，

作DF⊥x轴交于点F，

DF＝ADsin∠DAF

∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，

∴ED＝FD＝2，

则QD＝4，BD＝4，

∴BQ

即CN+NM+MD的最小值为8．