Question

同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为1²+2²+3²+…+n²．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n-l）×n
=

1

3

n（n+l）（n-l）时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
1²+2²=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
1²+2²+3²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
1²+2²+3²+4²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+

 

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

 

=（1+2+3+4）+（

 

）
…
（2）归纳结论：
1²+2²+3²+…+n²=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（

 

）+[

 

]
=

 

+

 

=

1

6

×

 

（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是

 

．

Answer 1

分析：根据（1）所得的结论，即可写出（1）（2）的结论；
（3）直接代入（2）的结论，计算即可．

解答：解：（1）观察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）归纳结论：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n；

1

2

n（n+1）；

1

3

n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）；

（3）实践应用：当n=100时，

1

6

×100×（100+1）（200+1）=338350．

点评：本题主要考查了整数的计算，正确观察已知条件，得到结论是解题的关键．