Question

【题目】如果一个正整数m能写成m＝a2﹣b2（a、b均为正整数，且a≠b），我们称这个数为“平方差数”，则a、b为m的一个平方差分解，规定：F（m）＝．

例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或．因为a、b为正整数，解得，所以F（8）＝．又例如：48＝132﹣112＝82﹣42＝72﹣12，所以F（48）＝或或．

（1）判断：6　 　平方差数（填“是“或“不是“），并求F（45）的值；

（2）若s是一个三位数，t是一个两位数，s＝100x+5，t＝10y+x（1≤x≤4，1≤y≤9，x、y是整数），且满足s+t是11的倍数，求F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）不是；F（45）＝或或；（2）．

【解析】

（1）根据题目的例子的形式，对所给的数进行分解，若算出来的a，b均为正整数，则这个数是平方差数．
（2）根据s+t为11的倍数，再根据s+t的取值范围就可以知道s+t的值．从而算出t的值．

解：（1）根据题意，6＝2×3＝1×6，由6＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，或，因为a，b为正整数，则可判断出6不是平方差数．

故答案为：不是．

根据题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或或．

∵a和b都为正整数，解得或或，

∴F（45）＝或或 ．

（2）根据题意，s＝100x+5，t＝10y+x，

∴s+t＝100x+10y+x+5

∵1≤x≤4，1≤y≤9，x、y是整数

∴100≤100x≤400，10≤10≤90，6≤x+5≤9

∴116≤s+t≤499

∵s+t为11的倍数

∴s+t最小为11的11倍，最大为11的45倍

∵100x末位为0，10y末位为0，x+5末位为6到9之间的任意一个整数

∴s+t为一个末位是6到9之间的任意一个整数

①当x＝1时，x+5＝6

∴11×16＝176，此时x＝1，y＝7

∴t＝71

根据题意，71＝71×1，由71＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得 ，

解得，∴F（t）＝

②当x＝2时，x+5＝7

∴11×27＝297，此时x＝2，y＝9

∴t＝92

根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，由92＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得 或或

解得，

∴F（t）＝

③当x＝3时，x+5＝8

∴11×38＝418，此时x＝3，y没有符合题意的值

∴11×28＝308，此时x＝3，y没有符合题意的值

④当x＝4时，x+5＝9

∴11×39＝429，此时x＝4，y＝2

∴t＝24

根据题意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或或或

解得或，∴F（t）＝或

11×49＝539不符合题意

综上，F（t）＝或F（t）＝或F（t）＝或F（t）＝

∴F（t）的最大值为．